<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Archiving and Interchange DTD v1.2 20190208//EN" "JATS-archivearticle1.dtd">
<article xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" dtd-version="1.2" article-type="other">
<front>
<journal-meta>
<journal-id/>
<journal-title-group>
</journal-title-group>
<issn/>
<publisher>
<publisher-name/>
</publisher>
</journal-meta>
<article-meta>
<title-group>
<article-title>Multiplicative autocorrelation in stationary Markov
processes</article-title>
</title-group>
<contrib-group>
<contrib contrib-type="author">
<contrib-id contrib-id-type="orcid">0000-0002-5014-4809</contrib-id>
<name>
<surname>Ellerman</surname>
<given-names>E. Castedo</given-names>
</name>
<email>castedo@castedo.com</email>
</contrib>
</contrib-group>
<pub-date date-type="eprint" publication-format="electronic" iso-8601-date="2021-04-10">
<day>10</day>
<month>4</month>
<year>2021</year>
</pub-date>
<permissions>
<copyright-statement>© 2022, Ellerman et al</copyright-statement>
<copyright-year>2022</copyright-year>
<copyright-holder>Ellerman et al</copyright-holder>
<license license-type="open-access">
<ali:license_ref xmlns:ali="http://www.niso.org/schemas/ali/1.0/">https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/</ali:license_ref>
<license-p>This document is distributed under a Creative Commons
Attribution 4.0 International license.</license-p>
</license>
</permissions>
<abstract>
<p><bold>DOCUMENT TYPE</bold>: Open Study Answer</p>
<boxed-text>
<p>
<bold>QUESTION:</bold>
<styled-content style="font-size:24px">For
any stationary markov process, is the autocorrelation of an interval
the product of the autocorrelations of subintervals?
</styled-content>
</p>
</boxed-text>
</abstract>
</article-meta>
</front>
<body>
<sec id="summary">
<title>Summary</title>
<p>A stationary process <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
has <italic>multiplicative autocorrelation</italic> when
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\operatorname{Cor}\!\left[{ Z_t}, { Z_r}\right] = \operatorname{Cor}\!\left[{ Z_t}, { Z_s}\right] \operatorname{Cor}\!\left[{ Z_s}, { Z_r}\right]
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
for all <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[t \le s \le r]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.
Autocorrelation is defined as <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\operatorname{Cor}\!\left[{ Z_t}, { Z_s}\right] := \frac{ \operatorname{Cov}\!\left[{ Z_t}, { Z_s}\right] }{\sigma^2}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>Cov</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
with <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\sigma^2 = \operatorname{Var}({ Z_t})]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>Var</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p>
<p>A stationary autoregressive process has multiplicative
autocorrelation
<xref alt="1" rid="ref-hamilton_time_1994" ref-type="bibr">1</xref>.
However, not all stationary Markov processes have multiplicative
autocorrelation. See the section below about a real-valued 3-state
Markov chain for a counterexample.</p>
<p>Among discrete-time stationary processes, only autoregressive
processes have multiplicative autocorrelation. Some Markov processes
are not obviously autoregressive processes even though technically
they are. For example, all stationary real-valued two-state Markov
chains are autoregressive (and thus also have multiplicative
autocorrelation).</p>
</sec>
<sec id="multiplicative-autocorrelation-implies-autoregression">
<title>Multiplicative autocorrelation implies autoregression</title>
<p>Consider any real-valued discrete-time stationary Markov process
<inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z'_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>Z</mml:mi><mml:msub><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
and translate it to <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z_t := Z'_t - {\operatorname{E}\!\left[{ Z'_t}\right]}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:msub><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:msub><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
without loss of generality.</p>
<p>Let <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\sigma^2 & := \operatorname{Var}({ Z_t}) \\
\rho & := \operatorname{Cov}\!\left[{ Z_t}, { Z_{t+1}}\right] / \sigma^2
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mo>Var</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mo>Cov</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>/</mml:mi><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula></p>
<p>Multiplicative autocorrelation implies <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{Cor}\!\left[{ Z_t}, { Z_{t+n}}\right] & = \rho^n \\
\operatorname{Cov}\!\left[{ Z_t}, { Z_{t+n}}\right] & = \rho^n \sigma^2
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>Cov</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula></p>
<p>Define what will be shown to be "white noise" of
<inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
as autoregressive process: <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\epsilon_t := Z_t - \rho Z_{t-1}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>:=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
By convenient translation, <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
{\operatorname{E}\!\left[{ Z_t}\right]} & = 0 \\
\epsilon_t & = 0 \\
\operatorname{Cov}\!\left[{ Z_t}, { Z_s}\right] & = {\operatorname{E}\!\left[{ Z_t Z_s}\right]} \\
{\operatorname{E}\!\left[{ Z_t^2}\right]} & = \sigma^2 \\
{\operatorname{E}\!\left[{ Z_t Z_{t+1}}\right]} & = \rho
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>Cov</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula></p>
<p>Consider any <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[n > 0]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
{\operatorname{E}\!\left[{ \epsilon_t \epsilon_{t+n}}\right]}
& = {\operatorname{E}\!\left[{ (Z_t - \rho Z_{t-1})(Z_{t+n} - \rho Z_{t+n-1})}\right]} \\
& = {\operatorname{E}\!\left[{ Z_t Z_{t+n}}\right]} + \rho^2 {\operatorname{E}\!\left[{ Z_{t-1} Z_{t+n-1}}\right]}
- \rho ({\operatorname{E}\!\left[{ Z_t Z_{t+n-1}}\right]} + {\operatorname{E}\!\left[{ Z_{t-1} Z_{t+n}}\right]}) \\
& = (1 + \rho^2) \rho^n \sigma^2
- \rho (\rho^{n-1} \sigma^2 + \rho^{n+1} \sigma^2) \\
& = 0
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
thus <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\epsilon_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
satisfies the "white noise" condition for expressing
<inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
as the autoregressive process <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
Z_{t+1} = \rho Z_t + \epsilon_t
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
QED</p>
</sec>
<sec id="real-valued-2-state-markov-chain">
<title>Real-valued 2-state Markov chain</title>
<p>For any stationary two-state Markov chain
<xref alt="1" rid="ref-hamilton_time_1994" ref-type="bibr">1</xref>
<inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>,
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\operatorname{Cor}\!\left[{ Z_t}, { Z_0}\right] = \operatorname{Cor}\!\left[{ Z_t}, { Z_s}\right] \operatorname{Cor}\!\left[{ Z_s}, { Z_0}\right]
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula></p>
<p><bold>Proof</bold> Let <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
q_1 & := \operatorname{P}({ Z_t = a_1 }) \\
q_0 & := \operatorname{P}({ Z_t = a_0 })
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
Map <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
to a more convenient <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
Y_t := \frac{Z_t - a_0}{a_1 - a_0}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
Since <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Y_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
only equals <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[0]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>
or <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[1]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>:
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
{\operatorname{E}\!\left[{ Y_t}\right]} = {\operatorname{E}\!\left[{ Y_t^2}\right]} = q_1
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
and thus <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\operatorname{Var}({ Y_t}) = q_1 - q_1^2 = q_1 q_0
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mo>Var</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
For convenience let <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
p_0 & := \operatorname{P}({ Y_1 = 0 \mid Y_0 = 1 }) \\
p_1 & := \operatorname{P}({ Y_1 = 1 \mid Y_0 = 0 }) \\
s & := p_0 + p_1
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mi>s</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>:=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
Since <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Y_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
is stationary, it follows that <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[q_i = p_i/s]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi>/</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
for <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[i \in \{0,1\}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false" form="prefix">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false" form="postfix">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.
In preparation for induction, assume <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{P}({ Y_t = 1 \mid Y_0 = 1 }) & = q_1 + q_0 (1-s)^t \\
\operatorname{P}({ Y_t = 1 \mid Y_0 = 0 }) & = q_1 - q_1 (1-s)^t
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
It must follow that <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{P}({ Y_{t+1} = 1 \mid Y_0 = 1 })
& = \operatorname{P}({ Y_{t+1} = 1 \mid Y_1 = 1 }) (1-p_0)
+ \operatorname{P}({ Y_{t+1} = 1 \mid Y_1 = 0 }) p_0 \\
& = [q_1 + q_0 (1-s)^t] (1-p_0)
+ [q_1 - q_1 (1-s)^t] p_0 \\
& = q_1 + [q_0 (1-p_0) - q_1 p_0](1-s)^t \\
& = q_1 + [q_0 (1-p_0) - (1- q_0) p_0](1-s)^t \\
& = q_1 + [q_0 - p_0](1-s)^t \\
& = q_1 + [q_0 - q_0 s](1-s)^t \\
& = q_1 + q_0 (1-s)^{t+1} \\
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
and <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{P}({ Y_{t+1} = 1 \mid Y_0 = 0 })
& = \operatorname{P}({ Y_{t+1} = 1 \mid Y_1 = 1 }) p_1
+ \operatorname{P}({ Y_{t+1} = 1 \mid Y_1 = 0 }) (1-p_1) \\
& = [q_1 + q_0 (1-s)^t] p_1
+ [q_1 - q_1 (1-s)^t] (1-p_1) \\
& = q_1 + [q_0 p_1 - q_1 (1-p_1)](1-s)^t \\
& = q_1 + [(1 - q_1) p_1 - q_1 (1-p_1)](1-s)^t \\
& = q_1 + [p_1 - q_1](1-s)^t \\
& = q_1 + [q_1 s - q_1](1-s)^t \\
& = q_1 - q_1 (1-s)^{t+1} \\
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
which completes induction, noting the base case of
<inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[t=0]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
is true.</p>
<p>Due to the convenient mapping to <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Y_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>,
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
{\operatorname{E}\!\left[{ Y_t Y_0}\right]}
& = \operatorname{P}({ Y_t = 1 \mid Y_0 = 1 }) \operatorname{P}({ Y_0 = 1}) \\
& = (q_1 + q_0 (1-s)^t) q_1 \\
& = q_1^2 + q_0 q_1 (1-s)^t
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
thus <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}\!\left[{ Y_t}, { Y_0}\right]
& = {\operatorname{E}\!\left[{ Y_t Y_0}\right]} - {\operatorname{E}\!\left[{ Y_t}\right]} {\operatorname{E}\!\left[{ Y_0}\right]} \\
& = q_1^2 + q_0 q_1 (1-s)^t - q_1^2 \\
& = q_0 q_1 (1-s)^t \\
\operatorname{Cor}\!\left[{ Y_t}, { Y_0}\right] & = (1-s)^t
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>Cov</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"/><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
QED</p>
</sec>
<sec id="counterexample-of-real-valued-3-state-markov-chain">
<title>Counterexample of Real-Valued 3-State Markov Chain</title>
<p>Let <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Z_t]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
be a stationary Markov process such that <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\operatorname{P}({ Z_t = -1}) = \operatorname{P}({ Z_t = 0}) = \operatorname{P}({ Z_t = 1}) = 1/3
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{P}({ Z_{t+1} = 0 \mid Z_t = -1}) & = 1/2 \\
\operatorname{P}({ Z_{t+1} = 1 \mid Z_t = 0}) & = 1/2 \\
\operatorname{P}({ Z_{t+1} = -1 \mid Z_t = 1}) & = 1/2
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
and for all <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[i \in \{-1, 0, 1\}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false" form="prefix">{</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false" form="postfix">}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>,
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\operatorname{P}({ Z_{t+1} = i \mid Z_t = i}) = 1/2
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∣</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula></p>
<p>Conveniently <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[{\operatorname{E}\!\left[{ Z_t}\right]} = 0]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>,
thus <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\operatorname{Cov}\!\left[{ Z_t}, { Z_s}\right] = {\operatorname{E}\!\left[{ Z_t Z_s}\right]}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mo>Cov</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.
For one time step we have <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{P}({ Z_1 = 1 \wedge Z_0 = 1 }) & = (1/3)(1/2) \\
\operatorname{P}({ Z_1 = -1 \wedge Z_0 = 1 }) & = (1/3)(1/2) \\
\operatorname{P}({ Z_1 = 1 \wedge Z_0 = -1 }) & = 0 \\
\operatorname{P}({ Z_1 = -1 \wedge Z_0 = -1 }) & = (1/3)(1/2)
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
thus autocorrelation of one time step must be positive:
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
{\operatorname{E}\!\left[{ Z_1 Z_0}\right]}
= (1 \cdot 1) \frac{1}{6}
+ (-1 \cdot 1) \frac{1}{6}
+ (-1 \cdot -1) \frac{1}{6}
= \frac{1}{6}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>6</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>6</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>6</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>6</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
For two time steps <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\begin{aligned}
\operatorname{P}({ Z_2 = 1 \wedge Z_0 = 1 }) & = (1/3) (1/2)^2 \\
\operatorname{P}({ Z_2 = -1 \wedge Z_0 = 1 }) & = (1/3) [ (1/2)^2 + (1/2)^2 ] \\
\operatorname{P}({ Z_2 = 1 \wedge Z_0 = -1 }) & = (1/3) (1/2)^2 \\
\operatorname{P}({ Z_2 = -1 \wedge Z_0 = -1 }) & = (1/3) (1/2)^2
\end{aligned}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mo>P</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>∧</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></alternatives></disp-formula>
thus the autocorrelation for two time steps must be negative:
<disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
{\operatorname{E}\!\left[{ Z_2 Z_0}\right]}
= (1 \cdot 1) \frac{1}{12}
+ (-1 \cdot 1) \frac{2}{12}
+ (1 \cdot -1) \frac{1}{12}
+ (-1 \cdot -1) \frac{1}{12}
= - \frac{1}{12}
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>E</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>12</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>12</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>12</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>12</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>12</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
thus <disp-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[
\operatorname{Cor}\!\left[{ Z_2}, { Z_0}\right] \not= \operatorname{Cor}\!\left[{ Z_2}, { Z_1}\right] \operatorname{Cor}\!\left[{ Z_1}, { Z_0}\right]
]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mml:mrow><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>Cor</mml:mo><mml:mspace width="-0.167em"/><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula></p>
</sec>
<sec id="references">
<title>References</title>
</sec>
</body>
<back>
<ref-list>
<ref id="ref-hamilton_time_1994">
<element-citation publication-type="book">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Hamilton</surname>
<given-names>James D.</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Time series analysis</source>
<publisher-name>Princeton University Press</publisher-name>
<publisher-loc>Princeton, N.J</publisher-loc>
<year iso-8601-date="1994">1994</year>
<isbn>978-0-691-04289-3</isbn>
</element-citation>
</ref>
</ref-list>
</back>
</article>
